Ergänzend zu den vielen sehr guten Antworten zum Unterschied von Kur zu Reha möchte ich noch eins betonen was mir als Angestellte einer Rehaklinik (übrigens mit Schwerpunkt u.a. Asthma) wichtig ist:

Kur dient deiner Erholung. Kinderreha dient der Gesundheit deines Kindes und ist für Begleitpersonen harte Arbeit! Je nach Klinik hast du Terminstress, viele Schulungen, viel Freizeit die du selbst gestalten musst, Therapien an denen du teilnehmen musst um deinem Kind zu helfen.

Die Frage ist was du willst.

mein Sohn hatte das gleiche und ich habe ohne Schwierigkeiten eine kur an der ostsee bekommen.
es war eine ganz wunderbare zeit und ihm hat es richtig gut getan.
ich kann es dir empfehlen es zumindest zu versuchen eine zu bekommen.