Alleiniges Sorgerecht beantragen wenn KV einverstanden

Hallo

Hab mal eine Frage an Euch.
Da mein Ex ja keinerlei Interesse an seinen Kindern zeigt und es derzeit angebracht gewesen wäre wenn er von seinem gemeinsamen Sorgerecht mal gebrauch gemacht hätte stehe ich nun vor der Entscheidung das alleinige zu beantragen.

Mein Sohn war letzte Woche im Krankenhaus und morgen muss er wieder rein. Da ich vom KV wollte das er sich mit kümmert und zumindest bei der Einweisung dabei ist hab ich wohl schon zuviel verlangt.
Er motzte mich nur an warum er denn dabei sein soll, die Kinder wollen ihn ja eh nicht in der Nähe haben und nur weil ich das so will würde er noch lange nicht springen und mitkommen.
Desweiteren hat er gesagt das er die Schnauze voll hat das ich für jeden Scheiss ne Mail schreibe wenn irgendwas mit den Kindern ist. Und er will das Sorgerecht nicht mehr.
Er würde mir jetzt schriftlich geben das er auf das Sorgerecht verzichtet und ich könne dann das alleinige beantragen damit er endlich seine Ruhe hat.

Nun meine Frage.
Geht das dann so einfach wenn ich mit dem Schrieb zum Anwalt gehe und das alleinige Sorgerecht mit Einverständnis des KV haben möchte oder wird das auch ein eher langer Prozess ??
Langsam geht mir das Verhalten des KV echt an die Nieren.

Damals war er schonmal mit dem alleinigen SR für mich einverstanden doch dann hat ihn sein Anwalt belabert und er wollte es dann doch nicht mehr.
Aber gekümmert hat er sich nie, die Kinder wollen auch keinen Kontakt und ihm geht alles am A**** vorbei.
Er meldet sich nichtmal zu Feiertagen oder Geburtstagen oder sonst irgendwas und wie gesagt sogar jetzt wo unser Sohn ziemlich krank ist und die nächste Zeit viel im Krankenhaus sein wird juckt es ihn kein Stück.

Was meint ihr wie wird das ablaufen mit dem alleinigen SR ?

LG
Claudia